. Angewandte Kalkül; Prinzipien und Anwendungen . Formeln geben die Volumen generatedby eine vollständige Revolution des Bereichs. Folge. - Wenn die Achse der Revolution schneidet den Bereich, (1) oder (2) wird die Differenz zwischen den Volumina durch die beiden Teile generiert. Daher F = 0, wenn diese beiden Teile gleiche Volumen erzeugen. Integration (1) zuerst mit respectto y, und (2) zuerst mit Bezug auf x, die oberen Grenzen bei den Variablen y oder x und die unteren Grenzen Null, gibt y = ^ r^y^dx (10 ^ Xo und y = 7r / x^dy, (20 die Formeln für soHds der Revolution, Single Integration. 169. Bände von Triple Integrati

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. Applied calculus; principles and applications . formulas give the volumes generatedby a complete revolution of the area. Corollary. — If the axis of revolution cuts the area, (1)or (2) will give the difference between the volumes generatedby the two parts. Hence F = 0, when these two partsgenerate equal volumes. Integrating (1) first with respectto y, and (2) first with respect to x, the upper limits beingthe variables y or x and the lower limits zero, gives y = ^ r^y^dx (10 ^ Xo and y = 7r / x^dy, (20 the formulas for soHds of revolution, single integration. 169. Volumes by Triple Integration — Polar Coordinates.— Let the point P (p, 6, 0) be any point within a por-tion of a sohd bounded by a surface and the rectangularplanes. As usual, p is the distance OP from the pole at theorigin, 6 is the angle ZOP which OP makes with the 2;-axis, 322 INTEGRAL CALCULUS and 0 is the angle XOP which the projection of OP on theXY plane makes with the o^-axis. Let the soUd be dividedinto elementary volumes like PDDiQi by the followingmeans.. (1) Through the 2!-axis pass a series of consecutive planes, dividing the solid into wedge-shaped slices such as COAB. (2) Round the ;S-axis describe a series of right con^s withtheir vertices at 0, thus dividing each slice into elementarypyramids hke 0 - RSTV. (3) With 0 as a center describe a series of consecutivespheres. Thus the soHd is divided into elementary sohdslike PDDiQi, whose volume is given approximately by theproduct of three of its edges, PPi, PP2, and PQ. Let edge PQ = Ap, angle POP2 = ^6, angle AOB = anglePOPi = A0; then edge PPi = psind A(/), and edge PP2 = p^e. Hence, the volume of the elementary solid is given ap-proximately by p2 sin 6 AS A0 Ap. It can be expressed VOLUMES BY TRIPLE INTEGRATION 323 exactly but the additional terms vanish when the three in-crements are made to approach zero. Therefore, the volumeof the sohd is given by the limit of Z 2 X psin^A^A^Ap; A0=O A0=O Ap=0 /. V= I j I p^ sine ddd(l) dp, (1)

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