. Smithsonian verschiedene Sammlungen. Grob die aufeinander folgenden Punkt und die vorwärts Terminus, aber nicht im Allgemeinen durch den Anfangspunkt. Wenn wir dann in (5) (xlt yv zt) durch (x + dx, y + dy,z -f- dz) ersetzen, haben wir: 0 = [(&- y) dx – 02 – *) dy] j£)+ [.{z2 – z)dy –(y2 – y)dz][J^j + [C»2 – *) dz – (z2 –^*) (SH* durch die Gleichung der Fläche (1) und ihre Differenzgleichung kann eine der Variablen mit ihrem Differential eliminiert werden.die resultierende Differentialgleichung, die so integriert wird, dass der Startpunkt (XY, yv zx) enthalten ist, wird die Gleichung eines PR sein

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. Smithsonian miscellaneous collections. rough the consecutive pointand the forward terminus, but not in general through the startingpoint. If then in (5) we replace (xlt yv zt) by (x + dx, y + dy, z -f- dz) we have: 0 = [(&— y) dx — 02 — *) dy] j£)+ [.{z2 — z)dy—(y2—y)dz][J^j + [C»2— *) dz — (z2— z) dx] (j^j ?+[ (SO-<*-?) (sH* By means of the equation of the surface (1) and its differentialequation any one of the variables with its differential can be eliminated.The resulting differential equation being integrated so as to containthe starting point (xY, yv zx), will be the equation of a projection ofthe proorthode on a coordinate plane. The proorthode being differently related to its ends, will be dif-ferent forward and backward, while the diorthode is the same for-ward and backward. MATHEMATICAL SECTION. 127 The following diagram will illustrate the relative course of thesecurves: normal sectiondiorthodeprodrthodebrachisthode Any surface of the second degree may be represented by. w=0 a J ^ p ^ q (8) The origin is taken at one of its real vertices, so that (a, 0, 0) isits centre. The equation of the diorthode is then by (5), if wewrite x2 — x1 = A.r; y2 — yt = by; z2 — z1 = A z, 0 = [(&- V) Oft - *) - Oft- «) (2/i - 2/)] Y+ [(ft - 2) (y, — y) — (fc— !/) (ft - 2)] —^~+ r>3 - *) (ft - ^) - (ft ~ s) Oft - *)] J= (ft <ft -yxx2-- ybx - x*y) — + (ft Vi — h y% + sAy - !/A2) -^r + (ar2 Zj — x1 z2 + a-Az — zAa;) P = A*(|-})F+ Ay(7j)B+A2(F-a) p + (ft ft — ft ft) xy + (x2 zx — xxz2 + pbz) — + (y, 2 xt — yx x2 — qby)— (9)The equations of the chord (1, 2) may be written: %—* = ft — y = ft —g (10n ft —z y1 — yz1 — z J Every point of the chord, therefore, satisfies (9), and since that 128 PHILOSOPHICAL SOCIETY OF WASHINGTON. represents a surface of the second degree, it musl be a hyperboloidof one sheet, for this and its varieties are the only ruled surfaces ofthat order. In the general form (9) it has

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