. Eine neue Abhandlung über die Elemente der Differential-und Integralrechnung. Variable z; dh, ändern Sie die unabhängige Variable fromz zu X. ans. 2(p (x, y) = -y .:, . ^^ ^^ dx d-y dx^ 14. Eliminieren Sie die beliebigen Funktionen aus dx ^ dxdy ^ dy- (/.f ^ dy DIFFERENTIALRECHNUNG. IPJ^E^T SEOOIsTX). GEOMETRISCHE ANWENDUNGEN. SCHNITTPUNKT-L-TANGENTEN, NOEMALS, SUBTANGENTEN UND SUBNORMALEN ZU EBENEN KURVEN. 14 il. Die Tangentiallinie zu einer Kurve an einem bestimmten Punkt ist die Begrenzungsposition einer Sekantenlinie, die durch diesen Punkt führt, oder es ist das, was die Sekantenlinie wird, wenn ein anderer von itspoints der Kreuzung mit

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. A new treatise on the elements of the differential and integral calculus . variable z ; i.e., change the independent variable fromz to X. Ans. 2(p (x, y) = -y .:, . ^^ ^^ dx d-y dx^ 14. Eliminate the arbitrary functions from dx ^ dxdy ^ dy- (/.f ^ dy DIFFERENTIAL CALCULUS. IPj^E^T SEOOIsTX). GEOMETRICAL APPLICATIONS. SECTION L TANGENTS, NOEMALS, SUB-TANGENTS, AND SUB-NORMALS TO PLANE CURVES. 14il. The tangent line to a curve at a given point isthe limiting position of a secant line passing through that point, or it is what the secant line becomes when another of itspoints of intersection with the curve unites with the givenpoint. It is now proposed to find the form of the equation oftangent lines to plane curves. Let y z=zf(^x) be the equa-tion of the curve BPQ, andtake on this curve any point, as P, of which the co-ordi-nates, referred to the rectan-gular co-ordinate axes Ox, Oy, are x and y. This point willbe briefly designated as point(x, y). Give to x, taken as theindependent variable, the in-crement Ao?, y wiU receive a corresponding increment a?/, and 238. TANGENTS AND NORMALS. 239 X -- ^Xj y -- t^y^ are the co-ordinates of a second point, Q^on the curve; then, i x^^ ^i, denote the general or runningco-ordinates of a straight hne passing through P and Q^ theequation of this line will be or ^^ ^ iC-j-Air — ^ Now, conceive the point Q gradually to approach the point P, —^ will, at the same time, gradually approach its limit -, - = ?/^, bt.X CXX and finally become equal to this limit when Q unites with P;but then the secant line becomes the tangent line. Hence theequation of the tangent line is y^~y^ix^^^~ ^^ °^ 2/1 - 2/ = y^i - ^); in which -p is the tangent of the angle that the tangent line makes with the axis of abscissaa. Calhng this angle t, wehave tan. r = == y^ cot. %ctx COS. r =; dt ■ , - = =b 1 1 dy~dx y 1 dy y dxsin. T 1= =t —y- —. = =b -, — J+(:f 14^. The normal line to a curve at any point is tliostraight lino passing tlirough the point

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