Eine elementare Abhandlung über Differentialgleichungen und deren Anwendungen. 2. die Tangente nicht zu Ox parallel könnte sein, so kann er sie nicht schneiden, butbecomes asymptotische. Die anderen Eigenschaften sind ähnlicher Natur. Beispiele für die Lösung. Skizze der Merkmale ofdy^ Dx (1) (2) y(l-x). = x2y. (3) dy dx-f = y + x2 dx 10. Singulären punkten. In allen Beispielen, wie die in der lastarticle, erhalten wir ein Merkmal, und nur eine, durch jeden Punkt Saj Ausschneiden/der Ebene. Durch die Verfolgung der beiden Kurven t | = 0 und ^- | = 0 Wir caneasily Skizze des Systems. Wenn jedoch f (x, y) wird unbestimmt fo

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An elementary treatise on differential equations and their applications . 2. the tangent could not be parallel to Ox, so it cannot cut it at all, butbecomes asymptotic to it. The other characteristics are of similar nature. Examples for solution. Sketch the characteristics ofdy^dx (1)(2) y(l-x). = x2y. (3) dy dx -f = y + x2dx a 10. Singular points. In all examples like those in the lastarticle, we get one characteristic, and only one, through every point Saj Cut/ of the plane. By tracing the two curves t|=0 and ^-|=0 we caneasily sketch the system. If, however, f(x, y) becomes indeterminate for one or morepoints (called singular points), it is often very difficult to sketch the 8 DIFFERENTIAL EQUATIONS system in the neighbourhood of these points. But the followingexamples can be treated geometrically. In general, a complicatedanalytical treatment is required.* Ex. (i). -j-=-- Here the origin is a singular point. The geo- metrical meaning of the equation is that the radius vector and thetangent have the same gradient, which can only be the case for straight. Fig. 3. lines through the origin. As the number of these is infinite, in this casean infinite number of characteristics pass through the singular poinj;. Ex.(ii). §*--?, i.e. *.^--l. ax y x ax This means that the radius vector and the tangent have gradients

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