. Eine elementare Abhandlung über die Differential-und Integralrechnung. Cant eines Bogens ist gleich der Sezant des gleichen Bogens, in die Tangentof des Bogens, in die Differential des Bogens. 29. Y - cosec als zu unterscheiden. Wir haben y = csec x = sec (90 Grad - x). .-. dy = d s (90 Grad - x) = s (90 Grad - x) tan (90 Grad - x) d (90 Grad - x)= – COsec x COT x dx. Daher ist das Differenzial des Kosekans eines Bogens negativ und gleich dem Kosekant des Bogens, in den Kotangent des Bogens, in das Differenzial des Bogens. 30. Y = vers als zu unterscheiden. Wir haben y = vers x = 1 – cos x, . dy = d (1 – cos x) = si

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. An elementary treatise on the differential and integral calculus. cant of an arc isequal to the secant of the same arc, into the tangentof the arc, into the differential of the arc. 29. To Differentiate y — cosec as. We have y = cosec x = sec (90° — x). .-. dy = d sec (90° — x) = sec (90° — x) tan (90° — x) d (90° - x)= — cosec x cot x dx. Hence, the differential of the cosecant of an arc isnegative, and equal to the cosecant of the arc, into thecotangent of the arc, into the differential of the arc. 30. To Differentiate y = vers as. We have y = vers x = 1 — cos x, . dy = d (1 — cos x) = sin x dx. Hence, the differential of the versed-sine of an arcis equal to the sine of the arc into the differential ofthe arc. 31. To Differentiate y = covers as. We have y = covers x = vers (90° — x). .-. dy = cl vers (90° — x) = sin (90° — x) d (90° — x)=. — cos x dx. Hence, the differential of the coversed-sine of anarc is negative, and equal to the cosine of the arc int9the differential of the arc. GEOMETRIC DEJWXSTRA TIOX. 41. Fig. 4. 32. Geometric Demonstration.—The results arrivedat in the preceding Articlesadmit also of easy demonstra-tion by geometric construction. Let P and Q be two consec-utive points* in the arc of acircle described with radius = 1.Let x = arc AP ; then dx = arc PQ.From the figure we have, PM = sin x; NQ = sin (x -f dx) ; .-. QR = d sin x. OM = cos x; ON = cos (x + dx); /. NM =: — d cos x (minus because decreasing). AT = tan x; AT = tan (x + dx); .-. TT = d tan x. OT = sec x; OT = sec (x -f dx); .-. DT = d sec x. Now, since RP and QP are perpendicular respectively toMP and OP, and since DT and TT are also perpendicularto OT and Oxi respectively, the two infinitely small trianglesPQR and DTT are similar to MOP. Hence we have thefollowing equations: d sin x = RQ = QP cos PQR= cos x dx..*. d sin x = cos x dx. * All that is meaut here is that Y and Q are to he reasoned upon as though theywere consecutive points ; of

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