. Eine elementare Abhandlung über die Differential- und Integralrechnung. Als, und daher kann sev-ax eral-Werte nicht haben, es sei denn, indem wir die Form annehmen -• Daher haben wir -f- = - oder -=- = 0, und - = 0, fromdx 0 dx dy, die kritischen Werte von x und y zu bestimmen. Wenn diese Werte von z und y aus -j- = 0 und -=- = 0 realJ dx dy und satisfy (1) sind, können sie zu einem Mehrpunkt gehören. Wenn y nur einen Wert für den entsprechenden Wert von % hat und auf beiden Seiten zwei oder mehr reale Werte, ist dieser Punkt ein Mehrpunkt. Wir Werten dann -y- = - aus, und ji gibt es mehrere reale und ungleiche Werte

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. An elementary treatise on the differential and integral calculus. als, and therefore cannot have sev-ax eral values, unless by taking the form -• Hence we have -f- = - or -=- = 0, and — = 0, fromdx 0 dx dy which to determine critical values of x and y. If these values of z and y found from -j- = 0 and -=- = 0 are realJ dx dy and satisfy (1), they may belong to a multiple point. If y has but one value for the corresponding value of %, and on both sides of it y has two or more real values, this point is a multiple point. We then evaluate -y- = -, and ji there are several real and unequal values of ~-, there will be as ax many intersecting branches of the curve passing through the point examined. (See Courtenay, p. 190.) EXAMPLES. 1. Determine whether the curve y = (x — a)/x + b hasa multiple point. Here y has two values for everypositive value of x > or < a. Whenx = 0 or a, y has but one value, b;hence there are two points to he ex-amined. When x < 0, y is imagi-nary; hence the branches do notpass through the point (0, b), and Fig. 25.. 198 EXAMPLES. therefore it is not a multiple point. When x > or yx Therefore the point is of the first kind, and the tangentsto the curve at the point make with the axis of x angles whose tangents are -f- ^/a and — Za- 2. Examine x* + 2ax2y — ayz = 0 for multiple points. We proceed according to the second method, as all thecritical points in this example are not easily found by inspec-tion. J = 4^ + «y) = 0; (1) 0 = B(a*-iy) ==; (2) dy 4#3 -f- 4:axy dx ~ 3ay2 — 2ax2 Solving (1) and (2) for x and y, we find Ix = o Ix — iaV6 Ix — —$aV$y = 0); y=-ia)> y = -%a / Only the first pair will satisfy the equa-tion of the curve, and therefore the ori-gin is the only point to be examined. Evaluating -j- in (3) for x = 0 and y = 0, and representing ~ by p, and -j-by p9 for shortness, we have (3)

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