Ein erster Kurs in der projektiven Geometrie. Llectingand ordnet Methoden und Ergebnisse in Der Ebenengeometrie mit aview zu ihrer Anwendung in der Projektionstheorie an. Wenow nimmt die Behandlung von Letzterem ab dem Punkt wieder auf, an dem es in Kapitel 11 belassen wurde. § 2. The Vanishing Lines. Wir haben gesehen, dass die Projektion einer geraden Linie der Bereich einer Ebene durch V, den Scheitelpunkt der Projektion, und diese Linie mit der Projektionsebene ist. Wenn diese beiden Ebenen parallel sind, wird die Projektion jedoch zur unendlichen Linie auf der Projektionsebene. Sei TT die Ebene der Figur und tt die

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A first course in projective geometry . llectingand arranging methods and results in Plane Geometry with aview to their application in the theory of projection. Wenow resume the treatment of the latter from the point atwhich it was left in Chapter 11. § 2. The Vanishing Lines. We have seen that the projection of a straight line is thecommon section of a plane through V, the vertex of projection, and that line with the plane of projection. If these two planes are parallel, however, the projectionbecomes the line at infinity on the plane of projection. Let TT be the plane of the figure and tt the plane ofprojection. Draw through V planes parallel to tt and tt, meeting re-spectively tt and TT in the lines /, /. Then / is the straight line in the plane tt which is projectedto infinity on ir, and is on this account called the VanishingLine of the plane tt. Similarly / is the vanishing line of tt. 78 PROJECTIVE GEOMETRY Fig. 37 shows the position of the vertex of projection, thevanishing lines, and a point P and its projection P.. Fig. 37. § 3. The Projection of an Angle. Let the bounding lines of the angle QPR in the plane tt cutthe vanishing line of that plane in Q and R, and let the planesVPQ, VPR cut tt in PQ, PR. Then QPR is the projectedangle. Since the plane VQR is parallel to tt, VQ and PQ, being sections of these planes by the plane VPQ, are parallel. Similarly VR and PR are parallel. .. angle QVR = angle QPR. It follows that: The projected angle is equal to the angle subtended at tJie vertexof projection by the intercept made by the given angle on the vanish-ing line of its plane. A very important particular case occurs when the apex ofthe given angle is on the vanishing line. The projection of the apex is then a point at infinity, andaccordingly the bounding lines of the angle project into lines PROJECTION 79 which have a common point at infinity. Hence straight lineswhich intersect on the vanishing line of their plane projectinto parallel straight lines.

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