Ein elementarer Ablauf von Infinitesimalberechnungen . Dies stellt ein System von rechteckigen Hyperbolas dar, deren Axesübereinkommen in Richtung der Asymptome des früheren Systems. Z. B. 2. So finden Sie die Kurven orthogonal zu den Kreisen a? + f + 2i.y-¥ = Q (8), wobei /a der variable Parameter ist.Difierentiating, wir haben xdx + {y + ij) dy = 0, und deshalb, für die Bahn, xdy - {y + It) dx = Q.EUminating /x, zwischen diesem und (8), finden wir 2xy^ + {a? (^ 9-l) Oder x^^-y^-o^ + k (10). Dies ist linear, mit y^ als unabhängiger Variable. Der integrierte Faktor, wie in der Regel des Art. 177, OR

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An elementary course of infinitesimal calculus . This represents a system of rectangular hyperbolas whose axescoincide in direction with the asymptotes of the former system. Ex. 2. To find the curves orthogonal to the circles a? + f + 2ii.y-¥ = Q (8), where /a is the variable parameter.Difierentiating, we have xdx + {y + ij) dy = 0, and therefore, for the trajectory, xdy - {y + It) dx = Q.EUminating /x, between this and (8), we find 2xy^ + {a?-y-l^) = 0 (9), or x^^-y^-o^ + k (10). This is linear, with y^ as the independent variable. The in-tegrating factor, as found by the rule of Art. 177, or byinspection, is l/ar*. Introducing this we have dxxj ^s>? 480 INFINITESIMAL CALCULUS. [CH. XI whence or ^ = -x + 2X, X X (11). X being arbitrary. The original equation represents a system of coaxial circles, cutting the axis of x in the points {±k, 0). The trajectories (11)consist of a second system of coaxial circles having these pointsas limiting points; viz. if we put X = ±k we get the point-circles {x + kf + f = 0 (12); see Fig. 148, . Fig. 148. If the equation of the given family of curves be in polarcoordinates, thus f(r, e, G) = 0 (13), 178] DIFFERENTIAL EQUATIONS Of FIRST ORDER. 481 and if ^, ^ denote the angles which the tangents to theoriginal curve and to the trajectory make with the radiusvector, we have in like manner tan <f) = — cot 0. Hence the differential equation of one system is obtainedfrom that of the other by writing dr , rdOrdO dr Or, differentiating (13) we have %dr + l%rde = 0 (14), and therefore, for the trajectory, ^lrdd--%dr = 0 (15). dr rod The elimination of C between (13) and (15) leads to thedifferential equation of the required system. Ex. 3. In the circles r = c cos 5 (16)) which pass through the origin, and have their centres on theinitial line, we have - = -ta, ned9 (17), r and therefore, for the trajectory, rd$ = ta, nedr, or —^ootOdd (18). Integrating, we find log r = log sin 6 + const., or r = csin^ (19), which represents another

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