. Angewandte Kalkül; Prinzipien und Anwendungen . zum Zentrum der Krümmung. Dann ist PC R und ist rechtwinklig die Tangente PT. Daher Z BCP = Z XTP = 0, OA = OM - BP, AC = MP-- BC; A = x – RSM(i), ^ = y -- RCOS(f); (1) T^dy ^ , -^dx das ist, oder (2) EIGENSCHAFTEN DER EVOLVENTE UND EVOLUTE 143 Substitution in (2). Die Werte von R und ds, ergibt A = X dx 1 + ^ = y + 1^1 dx/ d^dx (3) 95. Evoluten und Evoluten. - jeder Punkt einer Kurve, wie in, hat ein entsprechendes Zentrum der Krümmung. Wenn sich der Punkt (x, y) entlang der Kurve bewegt, wird der Punkt {a, ^) durch die obige Gleichung (3) eine weitere Kurve als EV nachzeichnen. T

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. Applied calculus; principles and applications . to center of curvature. Then PC is R and is perpendicularthe tangent PT. Hence Z BCP = Z XTP = 0, OA = OM - BP, AC = MP-- BC; a = x — Rsm(i), ^ = y -- Rcos(f); (1) T^dy ^ , -^dx that is, or (2) PROPERTIES OF THE INVOLUTE AND EVOLUTE 143 Substituting in (2). the values of R and ds, gives a = X dx 1 + ^ = y + 1^1 dx/ d^dx (3) 95. Evolutes and Involutes. — Every point of a curve, as in, has a corresponding center of curvature. As the point(x, y) moves along the curve in, by equation (3) above, the. point {a, ^) will trace another curve, as ev. The curve ev, which is the locus of the centers of curvature of in, is calledthe evolute of in. To express the inverse relation, in is called an involute ofev. The figure shows an arc of an involute of a circle. 96. Properties of the Involute and Evolute. — I. Since dx/ds = cos cf), dy/ds = sin 0, and ds = R dcj), dx = cos (l)ds = R cos 0 dcj), (1) and dy = sin (jtds = R sin dcf). (2) Differentiating equations (1) of Art. 94, and using therelations given in (1) and (2), there results da = dx — R cos d(f) — sin 4> dR = — sin 0 dR, (3)d^ = dy — R sin <l)d -- cos 4)dR = cos dR. (4) 144 DIFFERENTIAL CALCULUS Dividing (4) by (3) gives d^/da = — cot </) = — dx/dy. That is, the normal to the involute at {x, y), as P (Art. 95, figure), is tangent to the evolute at the corresponding point (a, /3), as C.II. Squaring and adding (3) and (4) givesda^ + d/32 = dRK Let s denote the length of an

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