. Angewandte Kalkül; Grundsätze und Anwendungen . M VON /I / ! M C Daher wird der rechtwinklige Abstand des Schwerpunktes von der Basis h sein, Und da der Schwerpunkt jedes Elementarstreifens sein Mittelpunkt sein wird, wird der Schwerpunkt des Dreiecks auf der Medianlinie am liegen, um ein Drittel der Entfernung von m nach A. ähnlich ist es auf der Edianlinie von B; daher ist es am Schnittpunkt der Thediane. Beispiel 6. - Finden Sie den Schwerpunkt einer Halbkugel des Radius A, deren Dichte variiert wie der Abstand vom Zentrum. Hier wird die Dichte durch die bestimmt

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. Applied calculus; principles and applications . M BY /I / ! m C Hence the perpendicular distance of the center of gravityfrom the base will be h, and, since the center of gravity ofeach elementary strip will be its middle point, the center ofgravity of the triangle will be on the median line Am, atone-third the distance from m to A. Similarly, it is on themedian line from B; hence it is at the intersection of themedians. Example 6. — Find the center of gravity of a semicircularplate of radius a, whose density varies as the distance fromthe center. Here, the density being determined by the distance fromthe center, the polar element is used. EXAMPLES OF CENTER OF GRAVITY 341 Let the density 7 = kp, and the x-axis as in Ex. 1; then JyxdA f_^ fjkf^ COS ede dp I ydA I Ikp^dddp cos Odd 27r and y = 0. dd Example 7. — Find the centerof gravity of the volume cut froma right cyhnder, the radius ofwhose base is a, by the planesz = 0 and z = mx, the volumeabove the plane of XF alone con-sidered. Here h I xdxdydz 2h r< a Jo a2-x2 x^Va^. x^dx = 1T0?h X = Tra%/8 Tva^h/S W F = f a^/i from Ex. 2, Exercise XXXIX. h I I zdxdydz 0 ./_/a2-x2 t/o = -5 / x^Va^ — x^dx = —TTT-.)a^ Jo 16 - 7ra%yiQ -KamiXfS 3 , , _ . = —^r- = -T^—32^/^; and y 0. 342 INTEGRAL CALCULUS EXERCISE XL. Find the coordinates of the center of gravity: 1. Area of the parabolic half segment, y^ = 4 ax, x = 0 to x = a. Ans. (f a, fa). 2. The area under one arch of the cycloid, x = a {d — sind), y = a {1 — COS0). Ans. {ira, f a). (X _x ea -J- e aj, x = 0tox = a. Ans (^^ g (e^ + 4 - e-^) 4. A semicircular plate of radius a, the density varying as thedistance from the bounding diameter. Ans. {jTra, 0). 5. A homogeneous right circular cone, radius of base, a, and altitudeh. The axis on the x-axis. Ans. x = lh, y=z = 0. 6. A homogeneous paraboloid of revolution from the origin to x = h, Ans. X = ^h, y = 0. 7. A hemisphere whose density varies as the distance from the basewhose radius is a. Ans. {0, 0, ^

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